TEMA: ÁNGULOS VERTICALES

INTRODUCCIÓN
Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración.

A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema:
Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.
Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.
Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.
Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador.
Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulos de Elevación
Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.























"alfa": Ángulo de observación
Ángulos de Depresión
Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.




















"alfa": Ángulo de depresión

OBSERVACIÓN:
AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.


"teta": ÁNGULO DE OBSERVACIÓN














PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Una persona observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30º y luego de alejarse 40m observa nuevamente con un ángulo de elevación de 15º. Hallar la altura del edificio
Rpta. 20m


2. Un niño de estatura 1 m observa los ojos de una señorita de estatura m con un ángulo de elevación "alfa". Hallar la distancia que los separa sabiendo que: ctg(alfa) = (raíz de 3) + 1
Rpta. 2m


3. Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de una estatua con un ángulo de elevación de 60º y a la parte superior de su pedestal con un ángulo de elevación de 30º. Si la altura del pedestal es de 2m. Hallar la altura de la estatua
Rpta. 4 m

4. Desde un punto ubicado en la parte superior de un faro a 20m sobre el nivel del mar, observa a dos barcos que se encuentran colineales con ángulos de depresión "alfa" y "beta" respectivamente. Si ctg(beta) - ctg(alfa) = 10, hallar la distancia entre dichos barcos.

Rpta. 200m


5. En la parte superior de un edificio se encuentra una bandera, a 12m de distancia del edificio se observa la parte inferior y superior del asta de la bandera con ángulos de elevación alfa y beta respectivamente. Hallar la altura del asta si: tg(alfa) = 1,5 y ctg(beta) = 0,6

Rpta. 2 m

6. Desde las azoteas de dos edificios de 20 y 12m de altura, se observa un punto en el suelo entre ambos edificios con ángulos de depresión de 53º y 37º respectivamente. Calcular la distancia entre ambos edificios.

Rpta. 31m


7. A 20m de una torre se observa su parte más alta con un ángulo de elevación “alfa” y si nos alejamos 10 m el ángulo de elevación es el complemento de “alfa”. Calcular “tg(alfa)”

Rpta. raíz de 1,5

8. Una persona de estatura 1,80m observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación “teta”. Si la distancia se reduce a la tercera parte, la elevación angular se duplica. Hallar csc (teta).

Rpta. 2

9. Desde la parte superior de un edificio se observa un punto en el suelo con una depresión angular “teta”. Determinar la altura sabiendo que la línea visual mide “a”

Rpta. asen(teta)


10. Un avión vuela en línea recta y horizontalmente y cuando se ubica entre dos puntos A y B distantes ((raíz de 3)+1 ) km (“A” a su izquierda y “B” a su derecha) los observa con depresiones angulares de 30º y 45º. Calcular la altura de vuelo

Rpta. 1km


11. Desde un punto en el suelo se ubica la parte superior de un árbol con una elevación angular de 37º, nos acercamos 5m y la nueva elevación angular es 45º. Hallar la altura del árbol.

Rpta. 15m

12. Una persona ubicada en la parte más alta de un edificio observa a dos puntos opuestos a ambos lados del edificio con ángulos de depresión de 37º y 53º. Si los puntos distan entre si 20 m. Hallar la suma de las visuales

Rpta. 28m


13. Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 60º, si se retrocede 40m y se vuelve a observar la parte más alta, el ángulo de elevación es de 30º. Hallar la altura de la torre

Rpta. 20 por raíz de 3

14. Desde un punto en el terreno se observa la parte alta de un árbol con un ángulo de elevación de 30º, si nos acercamos 40m hacia él notamos que el nuevo ángulo de elevación es el complemento del anterior. Hallar la altura de dicho árbol.

Rpta. 20 por raíz de 3m


15. Desde la parte superior de una torre se observan dos piedras en el suelo con ángulos de depresión de 37º y 53º respectivamente; si la altura de la torre es 12m. y las piedras están en línea recta y a un mismo lado de la base de la torre. Calcular la distancia entre las piedras.

Rpta. 7m

“EL OPTIMISTA SE EQUIVOCA CON TANTA FRECUENCIA COMO EL PESIMISTA, PERO ES INCOMPARABLEMENTE FELIZ”

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Una persona observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 60º luego de alejarse 30m observa nuevamente con un ángulo de elevación de 30º. Hallar la altura del edificio.

A) 10 por raíz de 3
B) 25 por raíz de 3
C) 30
D) 15 por raíz de 3
E) 20


2. Un niño de estatura 1m observa los ojos de una señorita de estatura con un ángulo de elevación "teta". Hallar la distancia que los separa sabiendo que: ctg"teta" = (raíz de 2) + 1
A) 1m B) 1,5m C) 2m
D) 2,5m E) 3m

3. Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de una estatua con un ángulo de elevación de 45º y a la parte superior de su pedestal con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del pedestal es de 3m, hallar la altura de la estatua.

A) 2m B) 1,5m C) 1m
D) 3m E) 3,5m


4. Desde un punto ubicado en la parte superior de un faro a 15m sobre el nivel del mar, se observa a dos barcos que se encuentran colineales con ángulos de depresión "alfa" y "beta" respectivamente.
Si: ctg(beta) – ctg(alfa) = 7, hallar la distancia entre dichos barcos

A) 100m B) 205m C) 105m
D) 50m E) 310m


5. En la parte superior de un edificio se encuentra una bandera, a 5m de distancia del edificio se observa la parte inferior y superior del asta de la bandera con ángulos de elevación "alfa" y "beta" respectivamente. Hallar la altura del asta si: tg(alfa) = 1,4 y tg(beta) = 1,7m

A) 2m B) 1,5m C) 0,5m
D) 2,5m E) 3m


6. Desde las azoteas de dos edificios de 18 y 12m de altura, se observa un punto en el suelo entre ambos edificios con ángulos de depresión de 37º y 45º respectivamente. Calcular la distancia entre ambos edificios.

A) 12m B) 11m C) 36m
D) 24m E) 31m

7. A 90m de una torre, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación "alfa" y si nos alejamos 40 m el ángulo de elevación es el complemento de “alfa”. Calcular “tg(alfa)”

A) 2/3 B) 0,3 C) 0,1
D) 1/3 E) 1/5


8. Una persona de estatura 1,8m observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación “teta”. Si la distancia se reduce a la quinta parte, la elevación angular se duplica. Hallar 5tg (teta)

A) raíz de 5
B) raíz de 10
C) raíz de 15
D) 2
E) 5

9. Desde un punto en el terreno horizontal el ángulo de elevación la parte superior de una torre es de 15º, acercándose 100m en línea recta el nuevo ángulo de elevación es ahora de 30º. Hallar la altura de la torre.

A) 100m B) 50 por raíz de 3
C) 200m D) 100 por raíz de 3
E) 50m

10. Desde lo alto de dos torres de 12 m y 4 m de altura respectivamente, se observa un punto en el suelo entre ambas torres con ángulos de depresión de 37º y 60º respectivamente. Calcular la distancia entre dichas torres.

A)30m B)42m C)58m
D)23m E)51m


CLAVES

1.A
2.A
3.C
4.C
5.B
6.C
7.A
8.C
9.E
10.E